Проблема Борсука

Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 4 декабря 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников9-11 классов. В ней рассказывается об одной из знаменитых задач комбинаторнойгеометрии - гипотезе Борсука, которая утверждает, что в n-мерном пространствевсякое ограниченное множество можно разбить на n+1 часть меньшего диаметра.Вначале подробно анализируются случаи малых размерностей и доказывается, что приn=1, 2, 3 гипотеза верна. Далее приводятся различные оценки сверху длячисла Борсука в зависимости от размерности. Кроме того, рассматривается связьгипотезы с другими проблемами и задачами комбинаторной геометрии(проблема освещения, задача Грюнбаума, задача о хроматическом числе).В заключительных главах рассматриваются контрпримеры к гипотезе Борсука и история понижения минимальной размерности, в которой строится контрпример, а также улучшения оценки снизу.Многие главы снабжены задачами. Некоторые из них - это упражнения,прорешав которые, читатель лучше прочувствует материал. На некоторые задачиопирается основной текст. Сложные задачи отмеченызвёздочками (некоторые являются открытыми проблемами).Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей. От читателя потребуетсязнание элементарных понятий комбинаторики, а, кроме того, будет полезным (но не обязательным)знакомство с аналитической геометрией и началами анализа.