Интегрируемые динамические системы с диссипацией. Книга 3: Системы на гладких многообразиях

Третий том предлагаемого цикла работ «Интегрируемые динамические системы с диссипацией» представляет собой обзор по полученным ранее, а также новым случаям интегрируемости динамических систем с диссипацией на гладких многообразиях.Во многих задачах динамики возникают системы с пространствами положений — гладкими n-мерными многообразиями. Фазовыми пространствами таких систем естественным образом становятся касательные расслоения к ним. Так, например, изучение (n+1)-мерного твердого тела-маятника на обобщенном сферическом шарнире в неконсервативном поле приводит к динамической системе на касательном расслоении к n-мерной сфере, при этом метрика специального вида на ней индуцирована дополнительной группой симметрий. В данном случае динамические системы обладают переменной диссипацией, и полный список первых интегралов состоит из функций, имеющих существенно особые точки и выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.Показана интегрируемость некоторых классов однородных систем на касательных расслоениях к гладким n-мерным многообразиям. При этом силовые поля обладают переменной диссипацией и обобщают системы, ранее рассмотренные, по крайней мере, автором.В заключительной главе данного тома, которая может быть прочитана самостоятельно, предъявлены полные наборы инвариантных дифференциальных форм для однородных систем на касательных расслоениях к гладким конечномерным многообразиям. Показана связь наличия данных инвариантов с полным набором первых интегралов, необходимых для интегрирования геодезических, потенциальных и диссипативных систем.